Schiefer Wurf
Wirf ein Geschoss und beobachte, wie die horizontale Geschwindigkeit konstant bleibt, während die Schwerkraft die vertikale Bewegung erst bremst und dann beschleunigt.
Die Gleichungen des schiefen Wurfs
Der schiefe Wurf setzt sich aus zwei unabhängigen Bewegungen zusammen. Horizontal wirkt keine Kraft (wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt), also bewegt sich das Geschoss mit konstanter Geschwindigkeit. Vertikal wirkt die Schwerkraft und erzeugt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Wirft man mit der Geschwindigkeit v₀, dem Winkel θ und aus der Höhe h₀:
x(t) = v₀·cos θ · t
y(t) = h₀ + v₀·sin θ · t − ½·g·t²
Eliminiert man die Zeit aus beiden Gleichungen, erhält man eine Parabel, daher der Name Wurfparabel. Schalte im Simulator die Vektoren ein: Der horizontale Pfeil (vx) ändert sich nie, während der vertikale (vy) beim Steigen kürzer wird, am höchsten Punkt verschwindet und beim Fallen nach unten wächst.
Maximale Höhe und Wurfweite
Am höchsten Punkt ist die vertikale Geschwindigkeit null, was bei t = v₀·sin θ / g eintritt. Eingesetzt ergibt sich:
hmax = h₀ + (v₀·sin θ)² / (2g)
Wirft man vom Boden aus (h₀ = 0), beträgt die Wurfweite R = v₀²·sin(2θ) / g. Der Sinus von 2θ ist bei θ = 45° maximal, und da sin(2θ) = sin(180° − 2θ) gilt, landen zwei Komplementärwinkel (zum Beispiel 30° und 60°) an genau derselben Stelle: Der steilere Wurf dauert länger und steigt höher, legt aber dieselbe Strecke zurück. Die gestrichelte Bahn im Simulator zeigt diesen Komplementärwinkel.
Und wenn man aus einer Höhe wirft?
Für h₀ > 0 ist der optimale Winkel nicht mehr 45°, sondern etwas kleiner, weil das Geschoss mehr Fallzeit hat und es sich lohnt, diese für die Vorwärtsbewegung zu nutzen. Der Winkel für maximale Weite ist θ* = arctan(v₀ / √(v₀² + 2gh₀)). Erhöhe die Abwurfhöhe und beobachte, wie dieser Wert sinkt.
Der Simulator vernachlässigt den Luftwiderstand. In Wirklichkeit fliegen ein Ball oder eine Kugel deutlich weniger weit, und der optimale Winkel liegt unter 45°.
Häufige Fragen
Bei welchem Winkel ist die Wurfweite am größten?
Landet der Körper auf derselben Höhe, auf der er abgeworfen wurde, und vernachlässigt man den Luftwiderstand, ist die Wurfweite bei 45° maximal, weil sin(2θ) dann 1 ist. Wirft man von einer Erhöhung, liegt der beste Winkel etwas unter 45°. Auch der Luftwiderstand senkt ihn: Beim Kugelstoßen liegt er meist zwischen 35° und 42°.
Wie berechnet man die Wurfweite beim schiefen Wurf?
Vom Boden aus gilt für die Wurfweite R = v₀² · sin(2θ) / g. Ein Ball, der mit 20 m/s unter 45° auf der Erde (g = 9,81 m/s²) geworfen wird, fliegt also etwa 40,8 m weit. Die Flugzeit ist t = 2 · v₀ · sin θ / g, in diesem Beispiel rund 2,9 s.
Warum ergeben zwei verschiedene Winkel dieselbe Wurfweite?
Weil sin(2θ) für zwei komplementäre Winkel θ und 90° − θ denselben Wert hat. Mit gleicher Geschwindigkeit unter 30° oder 60° geworfen, landet der Körper an derselben Stelle, unter 60° steigt er aber viel höher und ist länger in der Luft. Nur bei 45° fallen beide Winkel zusammen.
Wie viel weiter fliegt ein Gegenstand auf dem Mond?
Die Wurfweite ist umgekehrt proportional zur Schwerkraft. Auf dem Mond beträgt g 1,62 m/s², etwa ein Sechstel des Erdwerts. Bei gleicher Geschwindigkeit und gleichem Winkel fliegt der Körper also etwa 6-mal so weit und steigt etwa 6-mal so hoch. Auf dem Jupiter mit 24,8 m/s² käme er nicht einmal halb so weit.