Fadenpendel
Eine echte Pendelsimulation im Vergleich zur Lehrbuchformel. Ab welchem Winkel funktioniert die Näherung nicht mehr?
Die Periode des Pendels
Ein Fadenpendel ist eine Punktmasse an einem masselosen Faden der Länge L. Lenkt man sie um den Winkel θ aus, drückt die tangentiale Komponente der Gewichtskraft sie zurück nach unten. Mit dem zweiten newtonschen Gesetz erhält man die Bewegungsgleichung:
θ'' = −(g / L) · sin θ
Diese Gleichung hat keine einfache Lösung. Der Trick der Lehrbücher besteht darin, einen kleinen Winkel anzunehmen, sodass sin θ ≈ θ (im Bogenmaß) gilt. Dann ist es die Gleichung eines harmonischen Oszillators, und seine Periode ist die bekannte Formel:
T₀ = 2π · √(L / g)
Achte darauf, was nicht vorkommt: weder die Masse noch die Amplitude. Schon Galilei beobachtete, dass ein Pendel gleich lange für eine Schwingung braucht, egal ob es weit oder wenig ausschlägt (Isochronie), und deshalb wurde es jahrhundertelang in Uhren verwendet.
Wenn die Näherung versagt
Der Simulator verwendet die Näherung nicht: Er löst die vollständige Gleichung numerisch (Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung). Das graue Geisterpendel folgt der linearen Formel. Bei 10° laufen beide praktisch gleich (0,2 % Fehler), bei 45° ist das echte Pendel schon 4 % langsamer, und ab 90° ist der Unterschied enorm. Nahe 180° balanciert das Pendel fast auf der umgekehrten Senkrechten, und die Periode strebt gegen unendlich.
Die exakte Periode lässt sich mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel (AGM) berechnen: T = T₀ / AGM(1, cos(θ₀/2)). Das zeigt die Karte „Tatsächliche Periode“.
Energie und Reibung
Die Balken zeigen, wie sich die Energie von potenzieller (ganz oben) in kinetische (am tiefsten Punkt) umwandelt und zurück. Ohne Reibung bleibt die Summe erhalten. Fügst du Reibung hinzu, wird Energie dissipiert und die Amplitude nimmt exponentiell ab; die Periode ändert sich dabei kaum, solange die Dämpfung klein ist.
Häufige Fragen
Wovon hängt die Periodendauer eines Pendels ab?
Bei kleinen Auslenkungen nur von der Fadenlänge und der Schwerkraft: T = 2π · √(L / g). Sie hängt weder von der Masse noch, solange der Winkel klein bleibt, von der Amplitude ab. Um die Periode zu verdoppeln, muss man die Länge vervierfachen.
Warum hängt die Periode nicht von der Masse ab?
Weil die Masse zweimal vorkommt und sich herauskürzt: Ein schwererer Körper wird stärker von der Schwerkraft gezogen, ist aber im gleichen Verhältnis schwerer zu beschleunigen. Aus demselben Grund fallen ohne Luft alle Körper gleich schnell.
Wie lang ist ein Sekundenpendel?
Ein Pendel, das für eine Schwingung von einer Seite zur anderen eine Sekunde braucht, hat eine Periode von 2 s. Aus der Formel folgt L = g · T² / (4π²) ≈ 0,994 m auf der Erde: fast genau ein Meter. So ein Pendel steckt in vielen Standuhren.
Wie misst man die Erdbeschleunigung mit einem Pendel?
Miss die Fadenlänge bis zum Schwerpunkt des Pendelkörpers und stoppe 10 oder 20 volle Schwingungen bei kleinem Winkel, um den Fehler zu verringern. Teile die Zeit durch die Zahl der Schwingungen, um T zu erhalten, und berechne g = 4π² · L / T². Mit einem Meter Faden und einer Stoppuhr kommt man auf 9,8 m/s² mit weniger als 1 % Fehler.