Tir parabolique
Lancez un projectile et observez comment la vitesse horizontale reste constante tandis que la gravité freine puis accélère le mouvement vertical.
Les équations du tir parabolique
Un tir parabolique est la composition de deux mouvements indépendants. À l’horizontale, aucune force n’agit (si l’on néglige l’air), donc le projectile avance à vitesse constante. À la verticale agit la gravité, qui produit un mouvement uniformément accéléré. Si l’on lance avec une vitesse v₀, un angle θ et depuis une hauteur h₀ :
x(t) = v₀·cos θ · t
y(t) = h₀ + v₀·sin θ · t − ½·g·t²
En éliminant le temps entre les deux équations, on obtient une parabole, d’où le nom. Activez les vecteurs dans le simulateur : la flèche horizontale (vx) ne change jamais, tandis que la verticale (vy) raccourcit pendant la montée, disparaît au point le plus haut et grandit vers le bas pendant la chute.
Hauteur maximale et portée
Au point le plus haut, la vitesse verticale est nulle, ce qui se produit à t = v₀·sin θ / g. En remplaçant :
hmax = h₀ + (v₀·sin θ)² / (2g)
Si l’on tire depuis le sol (h₀ = 0), la portée vaut R = v₀²·sin(2θ) / g. Le sinus de 2θ est maximal pour θ = 45°, et comme sin(2θ) = sin(180° − 2θ), deux angles complémentaires (par exemple 30° et 60°) atterrissent exactement au même endroit : le plus haut met plus de temps et monte plus, mais parcourt la même distance. La trajectoire en pointillés du simulateur montre cet angle complémentaire.
Et si l’on tire depuis une hauteur ?
Quand h₀ > 0, l’angle optimal n’est plus 45° mais un peu moins, car le projectile dispose de plus de temps de chute et il vaut mieux en profiter pour avancer à l’horizontale. L’angle de portée maximale est θ* = arctan(v₀ / √(v₀² + 2gh₀)). Augmentez la hauteur initiale et observez cette valeur diminuer.
Le simulateur néglige la résistance de l’air. En réalité, un ballon ou une balle vont nettement moins loin et l’angle optimal est inférieur à 45°.
Questions fréquentes
Quel angle donne la portée maximale ?
Si le projectile retombe à la même hauteur que son point de départ et que l’on néglige l’air, la portée maximale est atteinte à 45°, car sin(2θ) vaut 1. Lancé depuis une hauteur, l’angle optimal est un peu inférieur à 45°. La résistance de l’air le fait aussi baisser : au lancer du poids, il se situe en général entre 35° et 42°.
Comment calcule-t-on la portée d’un tir parabolique ?
Depuis le sol, la portée vaut R = v₀² · sin(2θ) / g. Par exemple, un ballon lancé à 20 m/s sous 45° sur Terre (g = 9,81 m/s²) parcourt environ 40,8 m. Le temps de vol est t = 2 · v₀ · sin θ / g, soit environ 2,9 s dans cet exemple.
Pourquoi deux angles différents donnent-ils la même portée ?
Parce que sin(2θ) prend la même valeur pour deux angles complémentaires, θ et 90° − θ. En lançant à 30° ou à 60° avec la même vitesse, on atteint le même point, mais à 60° le projectile monte beaucoup plus haut et met plus de temps à retomber. Ce n’est qu’à 45° que les deux angles coïncident.
Jusqu’où irait un objet sur la Lune ?
La portée est inversement proportionnelle à la gravité. Sur la Lune, g vaut 1,62 m/s², environ 6 fois moins que sur Terre : avec la même vitesse et le même angle, le projectile va environ 6 fois plus loin et monte environ 6 fois plus haut. Sur Jupiter, avec 24,8 m/s², il parcourrait moins de la moitié de la distance.