Moto parabolico
Lancia un proiettile e osserva come la velocità orizzontale resti costante mentre la gravità prima frena e poi accelera il moto verticale.
Le equazioni del moto parabolico
Il moto parabolico è la composizione di due moti indipendenti. In orizzontale non agisce alcuna forza (trascurando l’aria), quindi il proiettile avanza a velocità costante. In verticale agisce la gravità, che produce un moto uniformemente accelerato. Se lanciamo con velocità v₀, angolo θ e da un’altezza h₀:
x(t) = v₀·cos θ · t
y(t) = h₀ + v₀·sin θ · t − ½·g·t²
Eliminando il tempo tra le due equazioni si ottiene una parabola, da cui il nome. Attiva i vettori nel simulatore: la freccia orizzontale (vx) non cambia mai, mentre quella verticale (vy) si accorcia in salita, scompare nel punto più alto e cresce verso il basso in discesa.
Altezza massima e gittata
Nel punto più alto la velocità verticale è zero, cosa che avviene a t = v₀·sin θ / g. Sostituendo:
hmax = h₀ + (v₀·sin θ)² / (2g)
Se si lancia da terra (h₀ = 0), la gittata è R = v₀²·sin(2θ) / g. Il seno di 2θ è massimo per θ = 45°, e poiché sin(2θ) = sin(180° − 2θ), due angoli complementari (ad esempio 30° e 60°) arrivano esattamente nello stesso punto: quello più alto impiega più tempo e sale di più, ma percorre la stessa distanza. La traiettoria tratteggiata del simulatore mostra l’angolo complementare.
E se si lancia da un’altezza?
Quando h₀ > 0 l’angolo ottimale non è più 45° ma un po’ minore, perché il proiettile ha più tempo di caduta e conviene sfruttarlo avanzando in orizzontale. L’angolo di gittata massima è θ* = arctan(v₀ / √(v₀² + 2gh₀)). Prova ad aumentare l’altezza iniziale e osserva come diminuisce questo valore.
Il simulatore trascura la resistenza dell’aria. Nella realtà un pallone o un proiettile arrivano molto meno lontano e l’angolo ottimale è inferiore a 45°.
Domande frequenti
Con quale angolo si ottiene la gittata massima?
Se il proiettile ricade alla stessa altezza da cui è partito e si trascura l’aria, la gittata massima si ottiene a 45°, perché sen(2θ) vale 1. Se si lancia da un’altezza, l’angolo ottimale è un po’ minore di 45°. Anche la resistenza dell’aria lo abbassa: nel getto del peso è di solito tra 35° e 42°.
Come si calcola la gittata di un moto parabolico?
Lanciando da terra, la gittata è R = v₀² · sen(2θ) / g. Ad esempio, un pallone lanciato a 20 m/s con 45° sulla Terra (g = 9,81 m/s²) arriva a circa 40,8 m. Il tempo di volo è t = 2 · v₀ · sen θ / g, circa 2,9 s in questo esempio.
Perché due angoli diversi danno la stessa gittata?
Perché sen(2θ) assume lo stesso valore per due angoli complementari, θ e 90° − θ. Lanciando a 30° o a 60° con la stessa velocità si arriva nello stesso punto, ma a 60° il proiettile sale molto di più e impiega più tempo a ricadere. Solo a 45° i due angoli coincidono.
Quanto più lontano arriverebbe un oggetto sulla Luna?
La gittata è inversamente proporzionale alla gravità. Sulla Luna g vale 1,62 m/s², circa 6 volte meno che sulla Terra, quindi con la stessa velocità e lo stesso angolo il proiettile arriva circa 6 volte più lontano e sale circa 6 volte più in alto. Su Giove, con 24,8 m/s², arriverebbe a meno della metà.