Péndulo simple
Simulación real del péndulo comparada con la fórmula de los libros. ¿A partir de qué ángulo deja de funcionar la aproximación?
El período del péndulo
Un péndulo simple es una masa puntual colgada de un hilo sin masa de longitud L. Al separarla un ángulo θ, la componente del peso tangente a la trayectoria la empuja de vuelta hacia abajo. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación del movimiento:
θ'' = −(g / L) · sin θ
Esta ecuación no tiene una solución sencilla. El truco de los libros de texto es suponer que el ángulo es pequeño, de forma que sin θ ≈ θ (en radianes). Entonces la ecuación es la de un oscilador armónico y su período es la conocida fórmula:
T₀ = 2π · √(L / g)
Fíjate en lo que no aparece: ni la masa ni la amplitud. Galileo ya observó que un péndulo tarda lo mismo en oscilar tanto si se mueve mucho como poco (el isocronismo), y por eso se usó durante siglos en los relojes.
Cuando la aproximación falla
El simulador no usa la aproximación: resuelve la ecuación completa numéricamente (método de Runge-Kutta de orden 4). El péndulo fantasma, en gris, sigue la fórmula lineal. Con 10° ambos van prácticamente juntos (error del 0,2 %), con 45° el péndulo real ya es un 4 % más lento, y a partir de 90° la diferencia es enorme. Cerca de 180° el péndulo pasa casi en equilibrio por la vertical invertida y el período tiende a infinito.
El período exacto se puede calcular con la media aritmético-geométrica (AGM): T = T₀ / AGM(1, cos(θ₀/2)), que es lo que muestra la tarjeta «Período real».
Energía y rozamiento
Las barras muestran cómo la energía pasa de potencial (arriba del todo) a cinética (en el punto más bajo) y viceversa. Sin rozamiento la suma se conserva. Si añades rozamiento, la energía se disipa y la amplitud decae exponencialmente; observa que el período apenas cambia mientras el amortiguamiento sea pequeño.
Preguntas frecuentes
¿De qué depende el período de un péndulo?
Para oscilaciones pequeñas, solo de la longitud del hilo y de la gravedad: T = 2π · √(L / g). No depende de la masa ni, mientras el ángulo sea pequeño, de la amplitud. Para duplicar el período hay que cuadruplicar la longitud.
¿Por qué el período no depende de la masa?
Porque la masa aparece dos veces y se cancela: una masa mayor sufre una fuerza de gravedad mayor, pero también cuesta más acelerarla, en la misma proporción. Es el mismo motivo por el que, sin aire, todos los cuerpos caen igual de rápido.
¿Qué longitud tiene un péndulo que bate segundos?
Un péndulo que tarda un segundo en ir de un extremo a otro tiene un período de 2 s. Despejando de la fórmula, L = g · T² / (4π²) ≈ 0,994 m en la Tierra: casi exactamente un metro. Es el péndulo de muchos relojes de pie.
¿Cómo se mide la gravedad con un péndulo?
Mide la longitud del hilo hasta el centro de la masa y cronometra 10 o 20 oscilaciones completas para reducir el error, con un ángulo pequeño. Divide el tiempo entre el número de oscilaciones para obtener T y calcula g = 4π² · L / T². Con un metro de hilo y un cronómetro se obtiene 9,8 m/s² con un error de menos del 1 %.