Pendule simple
Une simulation réelle du pendule comparée à la formule des manuels. À partir de quel angle l’approximation cesse-t-elle de fonctionner ?
La période du pendule
Un pendule simple est une masse ponctuelle suspendue à un fil sans masse de longueur L. Lorsqu’on l’écarte d’un angle θ, la composante du poids tangente à la trajectoire la ramène vers le bas. En appliquant la deuxième loi de Newton, on obtient l’équation du mouvement :
θ'' = −(g / L) · sin θ
Cette équation n’a pas de solution simple. L’astuce des manuels consiste à supposer que l’angle est petit, de sorte que sin θ ≈ θ (en radians). L’équation devient alors celle d’un oscillateur harmonique, dont la période est la formule bien connue :
T₀ = 2π · √(L / g)
Remarquez ce qui n’apparaît pas : ni la masse ni l’amplitude. Galilée avait déjà observé qu’un pendule met le même temps à osciller, qu’il bouge beaucoup ou peu (l’isochronisme), et c’est pourquoi on l’a utilisé pendant des siècles dans les horloges.
Quand l’approximation échoue
Le simulateur n’utilise pas l’approximation : il résout numériquement l’équation complète (méthode de Runge-Kutta d’ordre 4). Le pendule fantôme, en gris, suit la formule linéaire. À 10°, les deux avancent presque ensemble (erreur de 0,2 %), à 45° le pendule réel est déjà 4 % plus lent, et au-delà de 90° l’écart est énorme. Près de 180°, le pendule reste presque en équilibre sur la verticale inversée et la période tend vers l’infini.
La période exacte se calcule avec la moyenne arithmético-géométrique (AGM) : T = T₀ / AGM(1, cos(θ₀/2)), c’est ce qu’affiche la carte « Période réelle ».
Énergie et frottement
Les barres montrent comment l’énergie passe de potentielle (tout en haut) à cinétique (au point le plus bas) et inversement. Sans frottement, la somme se conserve. Si vous ajoutez du frottement, l’énergie se dissipe et l’amplitude décroît exponentiellement ; remarquez que la période change à peine tant que l’amortissement reste faible.
Questions fréquentes
De quoi dépend la période d’un pendule ?
Pour de petites oscillations, uniquement de la longueur du fil et de la gravité : T = 2π · √(L / g). Elle ne dépend ni de la masse ni, tant que l’angle reste petit, de l’amplitude. Pour doubler la période, il faut quadrupler la longueur.
Pourquoi la période ne dépend-elle pas de la masse ?
Parce que la masse apparaît deux fois et se simplifie : une masse plus grande subit une force de pesanteur plus grande, mais elle est aussi plus difficile à accélérer, exactement dans la même proportion. C’est pour la même raison que, sans air, tous les corps tombent à la même vitesse.
Quelle est la longueur d’un pendule battant la seconde ?
Un pendule qui met une seconde pour aller d’un côté à l’autre a une période de 2 s. En isolant L dans la formule, L = g · T² / (4π²) ≈ 0,994 m sur Terre : presque exactement un mètre. C’est le pendule de nombreuses horloges comtoises.
Comment mesurer la gravité avec un pendule ?
Mesurez la longueur du fil jusqu’au centre de la masse et chronométrez 10 ou 20 oscillations complètes avec un petit angle pour réduire l’erreur. Divisez le temps par le nombre d’oscillations pour obtenir T, puis calculez g = 4π² · L / T². Avec un mètre de fil et un chronomètre, on obtient 9,8 m/s² à moins de 1 % près.