Pendolo semplice
Simulazione reale del pendolo a confronto con la formula dei libri. Da quale angolo l’approssimazione smette di funzionare?
Il periodo del pendolo
Un pendolo semplice è una massa puntiforme appesa a un filo senza massa di lunghezza L. Quando la si sposta di un angolo θ, la componente del peso tangente alla traiettoria la spinge di nuovo verso il basso. Applicando il secondo principio di Newton si ottiene l’equazione del moto:
θ'' = −(g / L) · sin θ
Questa equazione non ha una soluzione semplice. Il trucco dei libri di testo è supporre che l’angolo sia piccolo, in modo che sin θ ≈ θ (in radianti). L’equazione diventa allora quella di un oscillatore armonico e il suo periodo è la nota formula:
T₀ = 2π · √(L / g)
Nota ciò che non compare: né la massa né l’ampiezza. Galileo aveva già osservato che un pendolo impiega lo stesso tempo a oscillare sia che si muova molto sia che si muova poco (l’isocronismo), ed è per questo che è stato usato per secoli negli orologi.
Quando l’approssimazione fallisce
Il simulatore non usa l’approssimazione: risolve numericamente l’equazione completa (metodo di Runge-Kutta del quarto ordine). Il pendolo fantasma, in grigio, segue la formula lineare. Con 10° i due vanno quasi insieme (errore dello 0,2 %), con 45° il pendolo reale è già il 4 % più lento e oltre i 90° la differenza è enorme. Vicino a 180° il pendolo resta quasi in equilibrio sulla verticale capovolta e il periodo tende all’infinito.
Il periodo esatto si calcola con la media aritmetico-geometrica (AGM): T = T₀ / AGM(1, cos(θ₀/2)), ed è ciò che mostra la scheda «Periodo reale».
Energia e attrito
Le barre mostrano come l’energia passa da potenziale (in cima) a cinetica (nel punto più basso) e viceversa. Senza attrito la somma si conserva. Se aggiungi attrito, l’energia si dissipa e l’ampiezza decade esponenzialmente; nota che il periodo cambia appena finché lo smorzamento è piccolo.
Domande frequenti
Da cosa dipende il periodo di un pendolo?
Per piccole oscillazioni, solo dalla lunghezza del filo e dalla gravità: T = 2π · √(L / g). Non dipende dalla massa né, finché l’angolo resta piccolo, dall’ampiezza. Per raddoppiare il periodo bisogna quadruplicare la lunghezza.
Perché il periodo non dipende dalla massa?
Perché la massa compare due volte e si semplifica: una massa maggiore subisce una forza di gravità maggiore, ma è anche più difficile da accelerare, esattamente nella stessa proporzione. È lo stesso motivo per cui, senza aria, tutti i corpi cadono alla stessa velocità.
Quanto è lungo un pendolo che batte il secondo?
Un pendolo che impiega un secondo per andare da un estremo all’altro ha un periodo di 2 s. Ricavando L dalla formula, L = g · T² / (4π²) ≈ 0,994 m sulla Terra: quasi esattamente un metro. È il pendolo di molti orologi a colonna.
Come si misura la gravità con un pendolo?
Misura la lunghezza del filo fino al centro della massa e cronometra 10 o 20 oscillazioni complete con un angolo piccolo, per ridurre l’errore. Dividi il tempo per il numero di oscillazioni per ottenere T e calcola g = 4π² · L / T². Con un metro di filo e un cronometro si ottiene 9,8 m/s² con un errore inferiore all’1 %.